数学がやりたい(?)(元)社会人の日記

数学がやりたいのか数学を利用したいのかどちらかわからなくなっている人のブログ

Laplace方程式について

またHatena Blogさんからお叱りのメールが届きましたので更新します。
今回はタイトルの通りです。
平面を境界とした半空間における3次元Laplace方程式を解くという問題の中で、極座標を用いた変換を行うわけなんですがこれが面倒くさいったらありゃしない
なら結果を覚えておけばいいじゃないかという話ですがそれも面倒くさい
とりあえず、普通に変換を行った時の計算を以下に掲載します。

Laplace方程式の極座標変換(円柱座標)

円柱座標におけるLaplacianを考えるにあたり, 極座標変換を行います.

\begin{align*} (x,y,z)=(r\cos\theta,r\sin\theta,z) \end{align*}

とおきます. 連鎖律を考えれば,
\begin{align*} \frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial f}{\partial r}\frac{\partial r}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial \theta}\frac{\partial \theta}{\partial x} \end{align*}

といった形にすることができます. ここで, $r^{2}=x^{2}+y^{2}$ であることを考えれば,

\begin{align*} \frac{\partial r}{\partial x}=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=\frac{r\cos\theta}{r}=\cos\theta \end{align*}

となります. また, $\displaystyle\frac{y}{x}=\frac{r\sin\theta}{r\cos\theta}=\tan\theta$ なので, $\displaystyle\theta=\tan^{-1}\frac{y}{x}$ とできます. 即ち, \begin{align*} \frac{\partial \theta}{\partial x}=\frac{1}{1+{\left( \frac{y}{x} \right)}^2}\frac{ \mathrm{d} }{ \mathrm{d}x }\left(\frac{y}{x}\right)=-\frac{y}{x^{2}+y^{2}}=-\frac{\sin\theta}{r} \end{align*} が得られます. 同様の方法で$\displaystyle\frac{\partial f}{\partial y}$も求めることができます. (ここでは短縮します.) \begin{align*} \frac{\partial f}{\partial x}=\cos\theta\frac{\partial f}{\partial r}-\frac{\sin\theta}{r}\frac{\partial f}{\partial \theta}\newline \frac{\partial f}{\partial y}=\sin\theta\frac{\partial f}{\partial r}+\frac{\cos\theta}{r}\frac{\partial f}{\partial \theta} \end{align*}

あとはこの2式をもう一度微分してあげます. \begin{align} \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} &=\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)=\frac{\partial}{\partial x}\left(\cos\theta\frac{\partial f}{\partial r}-\frac{\sin\theta}{r}\frac{\partial f}{\partial \theta}\right) \\ &=\left(\frac{\partial}{\partial x}\cos\theta\right)\frac{\partial f}{\partial r}+\cos\theta\left(\frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial f}{\partial r}\right)-\left(\frac{\partial}{\partial x}\frac{\sin\theta}{r}\right)\frac{\partial f}{\partial \theta}-\frac{\sin\theta}{r}\left(\frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial f}{\partial \theta}\right) \\ &=\left(\frac{\partial}{\partial x}\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\right)\frac{\partial f}{\partial r}+\cos\theta\frac{\partial^{2} f}{\partial r^{2}}\frac{\partial r}{\partial x}-\left(\frac{\partial}{\partial x}\frac{y}{{x^{2}+y^{2}}}\right)\frac{\partial f}{\partial \theta}-\frac{\sin\theta}{r}\frac{\partial^{2} f}{\partial \theta^{2}}\frac{\partial \theta}{\partial x} \\ &=\frac{\sin^{2}\theta}{r}\frac{\partial f}{\partial r}+\cos^{2}\theta\frac{\partial^{2} f}{\partial r^{2}}+\frac{2\sin\cos\theta}{r}\frac{\partial f}{\partial \theta}+\frac{\sin^{2}\theta}{r^{2}}\frac{\partial^{2} f}{\partial \theta^{2}} \\ \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} &=\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)=\frac{\partial}{\partial y}\left(\sin\theta\frac{\partial f}{\partial r}+\frac{\cos\theta}{r}\frac{\partial f}{\partial \theta}\right) \\ &=\left(\frac{\partial}{\partial y}\sin\theta\right)\frac{\partial f}{\partial r}+\sin\theta\left(\frac{\partial}{\partial y}\frac{\partial f}{\partial r}\right)+\left(\frac{\partial}{\partial y}\frac{\cos\theta}{r}\right)\frac{\partial f}{\partial \theta}+\frac{\cos\theta}{r}\left(\frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial f}{\partial \theta}\right) \\ &=\left(\frac{\partial}{\partial y}\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\right)\frac{\partial f}{\partial r}+\sin\theta\frac{\partial^{2} f}{\partial r^{2}}\frac{\partial r}{\partial y}+\left(\frac{\partial}{\partial y}\frac{x}{{x^{2}+y^{2}}}\right)\frac{\partial f}{\partial \theta}+\frac{\cos\theta}{r}\frac{\partial^{2} f}{\partial \theta^{2}}\frac{\partial \theta}{\partial y} \\ &=\frac{\cos^{2}\theta}{r}\frac{\partial f}{\partial r}+\sin^{2}\theta\frac{\partial^{2} f}{\partial r^{2}}-\frac{2\sin\cos\theta}{r}\frac{\partial f}{\partial \theta}+\frac{\cos^{2}\theta}{r^{2}}\frac{\partial^{2} f}{\partial \theta^{2}} \\ \therefore \nabla^{2}&=\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial z^{2}}=\frac{\partial^{2} f}{\partial r^{2}}+\frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial r}+\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial^{2} f}{\partial \theta^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial z^{2}} \end{align}

ひたすら計算するか覚えるかしかないのか?

何か短縮方法はないかと彷徨っているとPauling and Wilson, “Introduction to Quantum Mechanics”(McGRAW-HILL KOGAKUSHA, LTD.)という量子力学の入門書が。 この本によると、 \begin{align*} x=f(u, v, w),\,y=g(u, v, w),\,z=h(u, v, w) \end{align*} などと置いたとき, \begin{align*} \nabla^{2}&=\frac{1}{q_u q_v q_w}\left\{\frac{\partial}{\partial u}\left(\frac{q_v q_w}{q_u}\frac{\partial}{\partial u}\right)+\frac{\partial}{\partial v}\left(\frac{q_u q_w}{q_v}\frac{\partial}{\partial v}\right)+\frac{\partial}{\partial w}\left(\frac{q_u q_v}{q_w}\frac{\partial}{\partial w}\right)\right\} \\ {p_i}^2&=\left(\frac{\partial x}{\partial i}\right)^{2}+\left(\frac{\partial y}{\partial i}\right)^{2}+\left(\frac{\partial z}{\partial i}\right)^{2}\quad(i=u, v, w) \end{align*} という風に導出できるとのこと。ここで $u, v, w$ は任意の直交座標であり、上記の公式は $u, v, w$ が直交座標の時に成り立つとのことです。 今回の円柱座標はもちろんのこと、デカルト座標、球面座標も該当しますね。 それでは少し計算してみましょう。 \begin{align*} x=r\cos\theta,\,y=r\sin\theta,\,z=z \end{align*} なので, この場合 $u=r,\,v=\theta,\,w=z$ となります. よって, \begin{align*} {p_r}^{2}&=(\cos\theta)^{2}+(\sin\theta)^{2}+0=1\\ {p_\theta}^{2}&=(-r\sin\theta)^{2}+(r\cos\theta)^{2}+0=r^{2}\\ {p_z}^{2}&=0+0+1=1 \end{align*} となります. 即ち, \begin{align*} \nabla^{2}&=\frac{1}{r}\left\{\frac{\partial}{\partial r}\left(\frac{r}{1}\frac{\partial f}{\partial r}\right)+\frac{\partial}{\partial \theta}\left(\frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial \theta}\right)+\frac{\partial}{\partial z}\left(\frac{r}{1}\frac{\partial f}{\partial z}\right)\right\} \\ &=\frac{\partial^{2} f}{\partial r^{2}}+\frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial r}+\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial^{2} f}{\partial \theta^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial z^{2}} \end{align*} とまぁこのような感じにあっさりと出せました。公式も対称性があって覚えやすそうですし、こちらを使えるのであれば使っていきたいですね。 球面座標の場合も同じくあっさり計算できるので、あとでやってみよう。

大学院

今月、大学院説明会に行ってきます。そろそろ研究室訪問もしなければ…。
迷走しすぎてタイトルも説明もヘタレになってます。

自分は何の研究がしたいのか。

タイトルの通りですが、最近悩んでおります。
悩む前に院試に受かるだけの実力をつけろという話ですが…

 情報幾何?シンプレクティック?

私自身、数学をやりたいがために入った会社を高々一年で退社し、これから大学院を受験しようというのに「自分がこれから何をしていきたいのか」というのが今更になってブレてしまっています。
初めは「シンプレクティック幾何学のような数学と物理の幅広い分野に影響を与える研究をしたい」という考えを持っておりました。しかし、今になって情報幾何学というのも面白そうではないか、と思ってしまったのです。

ある分野を違う分野に持ち込むことで、その分野とはまた違った手法で取り組むことができるようになる、というのは往々にしてあることだと思います。ただ、私恥ずかしながら情報幾何というジャンルを聞いたのは社会人になってからで詳しいことはあまり存じ上げていませんでした。

何はともあれまずは院試に受からないことには研究もできないのですが、何分情報幾何は扱っている大学が関東圏に絞ってしまうと(私の調査不足だとは思いますが)少ないため、本当に今後どうすべきかを今決めておかないとうだうだと引っ張ってしまう気がします。

 勉強方法について

今更すぎる話ではありますが、自分の勉強方法であっているのか、これでしっかり試験当日までに完成させられるのかという不安もあります。
学部時代も大して頭がよかったわけでもなく、基礎から今一度叩き込まなければならない状況下であり、時間も残すところ4か月程度なのでちんたらとやっている余裕はありません。
また、「この問題はこういう理解の仕方で大丈夫だ」といえる自信がない問題も多くあり、そういったときに誰を頼るにもそういった人がいないため、なかなか厳しい状況です。

 何はともあれ

今は愚直に問題を解いて知識を増やしていくべきだとは考えています。そのうち大学院の説明会もあるでしょうし、そういったものにも足を運びつつ、探していかなければと思っています。まず院試に落ちたら見つかっても意味ないですからね。

また1か月

お久しぶりです。

はてなブログから「そろそろ次の記事更新しません?」といった内容のメールが来て、「確かに」と思い更新しております。

 

さて、この一か月の間ですが、大阪から実家に引越しをしたりですとか、仕事の引継ぎを行ったりとてんやわんやでした。

要するに仕事を辞めました。その理由は、やはり数学の勉強をしっかりしてみたい、という考えに至ったからです。

学部のころから大学院に憧れはあったものの、「自分じゃ大学院にいったところでな~」という安直な思いからよく考えずに就職という道を選択しました。

この時にしっかり考えていればあるいは1年早くしっかり勉強することができていたのに、と思うところではありましたが、もう過ぎてしまったことと割り切って前に進むことにしました。

 

この1年間会社勤めをすることで良いこと悪いこと様々ありましたが、一度就職という道を選択したことに関して後悔はしておりません。(長時間の残業は常態化しておりましたが)職場の環境も良く、たった1年間勤めての退職という選択をしたにもかかわらず最後はしっかり「頑張れ」と背中を押していただけました。

また、同期には大学の研究室の先輩方を紹介していただくなど、次に進むための情報提供をしてくれたことに本当に感謝してもし足りないくらいです。

 

今後は2018年度8月の大学院入試に向けて勉強をしていきます。

わからないことだらけで苦戦しておりますが、なんとかしてまずは院試にしっかり合格するための素地を整えたいと思います。

 

では。

 

(毎回思いますが、文章を書くのが下手すぎますね。)

やってしまった

一週間どころではなく一か月放置してしまうところでした。

ここ最近どうも色々あって忙しく、更新できずにいました。(言い訳)

 

また本を買ってしまいました。

 

 

植田一石先生のシンプレクティック幾何学入門です。

Amazonで買うよりサイエンス社で直接注文したほうが安く済みます。)

大して読み進められていないので感想も何もあったものではないですが、個人的には読んでいてワクワクします。まず前提知識がボロボロですが。

 

兎にも角にも、私は本を買う前に一冊一冊を大事に読み進める必要があると思うのですが…。

 

深谷先生のシンプレクティック幾何学は売り切れか、売っていたとしてもまぁまぁ高い値段となってしまっているので、読むことができていません。

 

シンプレクティック幾何学

シンプレクティック幾何学

 

 

公式に?再販してくれないかと待っている状況です。

 

どうでもいいですが、アホみたいな決断をしたのでそのうち報告したいと思います。

 

では。

 

気付けば

気付けば一週間以上放置してしまっていました。

 

今日は研修があり、東京に戻ってきています。大阪の良い点の一つは満員電車がないことですね。東京は朝から凄まじい混み具合です。

 

あと、どうせなら金曜日か月曜日に研修をやってくれれば、と思いました。土日に交通費を掛けずに実家に戻れますしね。

 

あと、数学書を買いました。

Differential Geometry of Curves and Surfaces: Revised and Updated Second Edition (Dover Books on Mathematics)

Differential Geometry of Curves and Surfaces: Revised and Updated Second Edition (Dover Books on Mathematics)

 

 

学生の頃はあまり洋書は読まず、卒論の要点要点に使った程度でしたが、ペーパーバックだとお値段も(他の洋書よりは)リーズナブルで、一度学習している分野ではあるし読み易いだろうと買ってみました。

 

まだあまり読み進めることはできていませんが、最初は平易な内容です。あくまで感覚ではありますが、すごく丁寧に解説してくれている印象があります。

 

またある程度読み進められたら感想を報告したいと思います。

 

では。

 

 

 

 

前回(1/15)の解答

■解答(1)

\begin{eqnarray} A=\left( \begin{array}{ccc} a & b & 0 \\ b & a & b \\ 0 & b & a \end{array} \right)\end{eqnarray}とおくと,

\begin{eqnarray} \boldsymbol x_{k} = A \boldsymbol x_{k - 1} = {A}^2 \boldsymbol x_{k - 2} = \cdots={ A}^k \boldsymbol x_{0}\end{eqnarray}とおくことができる. 

ここで、\( A \) の固有方程式を考えると,

\begin{eqnarray}|\lambda E - A | = \begin{vmatrix} \lambda - a & -b & 0 \\ -b & \lambda - a & -b \\ 0 & -b & \lambda - a \end{vmatrix} = ( \lambda - a )\{(\lambda - a)^2-2b^2\} \end{eqnarray}

\(\therefore\) \(\lambda = a, a + \sqrt{ 2 }b, a - \sqrt{ 2 }b \)

\( A \) は3個の互いに異なる固有値もつから, 正則行列 \( P \) が存在して,  対角化可能.

\begin{eqnarray} A= P \left( \begin{array}{ccc} a & 0 & 0 \\ 0 & a+\sqrt{2}b & 0 \\ 0 & 0 & a-\sqrt{2}b \end{array} \right) P^{-1} \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} \boldsymbol x_{k} = { A}^k \boldsymbol x_{0} = \boldsymbol P \left( \begin{array}{ccc} a^k & 0 & 0 \\ 0 & (a+\sqrt{2}b)^k & 0 \\ 0 & 0 & (a-\sqrt{2}b)^k \end{array} \right) P^{-1} x_0 \end{eqnarray}

つまり, \(a + \sqrt{ 2 }b \lt 1 , a - \sqrt{ 2 }b \gt -1 \)のとき、任意の \( x_{0} \) に対して, \( x_{k} \rightarrow o \)

以上より, \(0 \lt a \lt 1 \) であり, \(b = 0 \) は含む.

図形は都合より省略するが, \( \mathit{a - b} \) 平面上に \( a+\sqrt{2}b=1 \) を図示し, \(a, b\) 軸との交点をそれぞれ\(B, A\)とすると、その範囲は境界 \(AB, AO\) を除いた \(\triangle ABO\) 内であると言える.

 

(2) \( \boldsymbol x_k \) が零ベクトル以外のベクトルに収束するための条件は,点 \((a, b) \) は線分 \( AB \)(\(A\)は含まない)におくことである.

\( a + \sqrt{2}b = 1 ( 0 \lt a \lt 1) \)のとき,

\begin{eqnarray} A=\left( \begin{array}{ccc} a & \frac{1-a}{\sqrt{2}} & 0 \\ \frac{1-a}{\sqrt{2}} & a & \frac{1-a}{\sqrt{2}} \\ 0 & \frac{1-a}{\sqrt{2}} & a \end{array} \right)\end{eqnarray}

と置くことができ, \( A \) の固有方程式は,

\begin{eqnarray}|\lambda E - A | = \begin{vmatrix} \lambda - a & -\frac{1-a}{\sqrt{2}} & 0 \\ -\frac{1-a}{\sqrt{2}} & \lambda - a & -\frac{1-a}{\sqrt{2}} \\ 0 & -\frac{1-a}{\sqrt{2}} & \lambda - a \end{vmatrix} = (\lambda - 1)(\lambda - a)(\lambda - 2a + 1)\end{eqnarray}

\(\therefore\) \(\lambda = 1, a, 2a + 1 \)

すなわち, \( A \) は3個の互いに異なる固有値もつから, 正則行列 \( P \) が存在する.

それぞれの固有値に対応する固有ベクトルを考えると,

\begin{eqnarray} \left( \begin{array}{c} \frac{1}{2} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{2} \end{array} \right), \left( \begin{array}{c} -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \end{array} \right), \left( \begin{array}{c} -\frac{1}{2} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \\ -\frac{1}{2} \end{array} \right)\end{eqnarray}

となるため,

\begin{eqnarray} P=\left( \begin{array}{ccc} \frac{1}{2} & -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ -\frac{1}{2} & \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{2} \end{array} \right)\end{eqnarray}とおく. ここで, \( P \) は直行行列である. つまり,

\begin{eqnarray} P^{-1} = {}^t \! P = \left( \begin{array}{ccc} \frac{1}{2} & \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{2} \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{2} \end{array} \right)\end{eqnarray}

よって,

\begin{align} x_k &= P \left( \begin{array}{ccc} a^k & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & (a-\sqrt{2}b)^k \end{array} \right) P^{-1} x_0 \\ &= P \left( \begin{array}{ccc} a^k & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & (2a-1)^k \end{array} \right) P^{-1} x_0 \\&\longrightarrow \frac{1}{2}\left( \begin{array}{ccc} \frac{1}{2} & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & 1 & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{2} \end{array} \right)x_0 (k \rightarrow \infty)\end{align}

\( \left( \begin{array}{c} \frac{1}{2} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{2} \end{array} \right) \)と直交するような \( x_0 \) をとったとき, 上式の右辺は0となる.

よって, 初めに与えた条件を満たし, かつ右辺が0とならないのは \( a=1, b=0 \) のときである.

(3)は\( a - \sqrt{ 2 }b = -1\)のときに, (2)と同様に考えればよいので省略する.

 

(1)は無理に正則行列  \( P \) を求めて \( A^k \) を出しに行くのではなく、自然体で代入することで対角化した行列が零行列になることを考えるほうが早いです。

(2)は正則行列 \( P \) が直交行列であることに気づけば楽になります。

 直交行列であるには、列ベクトルを \(a_1, a_2, \cdots a_n\) としたとき、

\begin{eqnarray} <a_i, a_j> = \delta_{ij} = \left\{ \begin{array}{l} 1 (i=j) \\ 0 (i \neq j) \end{array} \right.\end{eqnarray}をみたす。

(\(\delta_{ij}\)はKroneckerのデルタ)

 

一週間後に更新すると言って結局本当にぎりぎりになってしまいました。(しかも(3)は省略するという酷さ。)

パソコンで毎回日記を更新しているわけですが、さすがに打ち込むだけでも中々しんどいですね。まだ慣れません。1時間はかかったかな…?

 

私生活のほうは何ら変わりありません。仕事は忙しいです。

 

では。

定期的な更新とは

定期的に更新すると言っておきながら結局二週間程経ってしまいました。

仕事も始まったため、とりあえず週に1回の更新を目標にしたいと思います。

 

年が明けてからというものの、2016年12月25日に急性胃腸炎になってから急遽取得した(させられた)会社の連休制度によって溜まっていた仕事を捌くことに必死でした。

会社を出るのはいつも22:00を過ぎていましたので、帰宅してから何かをする余裕もなくシャワーを浴びて寝る、という生活が続いていました。とりあえず、この土日で少し体力も回復できたかなと思います。久しぶりに数学もできました。

とはいえ、また明日から仕事のため、数学をする時間はもちろんのこと、何か他の事をやれるのか、といった感じですが…。

 

折角なので、休み中に解いた問題の1つを掲載してみようかと思います。

 

3次元実線形空間\( \mathit{ W } \) のベクトル列{\( \boldsymbol x_k \)}は\( \boldsymbol x_0 \)が与えられたとき, \(k \geq 1 \)に対して

\begin{eqnarray} \boldsymbol x_{k}=\left( \begin{array}{ccc} a & b & 0 \\ b & a & b \\ 0 & b & a \end{array} \right)\boldsymbol x_{k - 1} \end{eqnarray}

によって定まるものとする. ただし, \(a \gt 0 \), \( b \geq 0 \)である.

 以下の設問に答えよ.

(1) 任意の \( \boldsymbol x_0 \in \mathit{ W } \) に対して \( \mathit{ k } \rightarrow \infty \) のとき \( \boldsymbol x_k \) が零ベクトルに収束するために \( \mathit{ a, b } \) のみたすべき条件を求め,  \( \mathit{ a, b } \) の取りうる値の範囲を \( \mathit{a - b} \) 平面上に図示せよ.

(2) 任意の \( \boldsymbol x_0 \in \mathit{ W } \) に対して \( \mathit{ k } \rightarrow \infty \) のとき \( \boldsymbol x_k \) が零ベクトル以外のベクトルに収束するための条件を示せ.

(3) \( \mathit{ k } \rightarrow \infty \) のとき \( \boldsymbol x_k \) が発散も収束もしない(すなわち, 振動とする)とする. このとき, \( \mathit{ a, b } \) および \( \boldsymbol x_0 \) がみたすべき条件を求めよ.

 

解答は来週あたりにでも掲載しようと思います。演習 大学院入試問題[数学Ⅰ]に掲載されている問題なので持ってる人はすぐに答えを確認できるかと思います。今回はmathjaxがしっかり使えるか試してみたということで。

 

演習大学院入試問題〈数学〉I

演習大学院入試問題〈数学〉I

 

 

 では。