定期的に更新すると言っておきながら結局二週間程経ってしまいました。
仕事も始まったため、とりあえず週に1回の更新を目標にしたいと思います。
年が明けてからというものの、2016年12月25日に急性胃腸炎になってから急遽取得した（させられた）会社の連休制度によって溜まっていた仕事を捌くことに必死でした。
会社を出るのはいつも22:00を過ぎていましたので、帰宅してから何かをする余裕もなくシャワーを浴びて寝る、という生活が続いていました。とりあえず、この土日で少し体力も回復できたかなと思います。久しぶりに数学もできました。
とはいえ、また明日から仕事のため、数学をする時間はもちろんのこと、何か他の事をやれるのか、といった感じですが…。
折角なので、休み中に解いた問題の1つを掲載してみようかと思います。
問
3次元実線形空間\( \mathit{ W } \) のベクトル列{\( \boldsymbol x_k \)}は\( \boldsymbol x_0 \)が与えられたとき, \(k \geq 1 \)に対して
\begin{eqnarray} \boldsymbol x_{k}=\left( \begin{array}{ccc} a & b & 0 \\ b & a & b \\ 0 & b & a \end{array} \right)\boldsymbol x_{k - 1} \end{eqnarray}
によって定まるものとする. ただし, \(a \gt 0 \), \( b \geq 0 \)である.
以下の設問に答えよ.
(1) 任意の \( \boldsymbol x_0 \in \mathit{ W } \) に対して \( \mathit{ k } \rightarrow \infty \) のとき \( \boldsymbol x_k \) が零ベクトルに収束するために \( \mathit{ a, b } \) のみたすべき条件を求め, \( \mathit{ a, b } \) の取りうる値の範囲を \( \mathit{a - b} \) 平面上に図示せよ.
(2) 任意の \( \boldsymbol x_0 \in \mathit{ W } \) に対して \( \mathit{ k } \rightarrow \infty \) のとき \( \boldsymbol x_k \) が零ベクトル以外のベクトルに収束するための条件を示せ.
(3) \( \mathit{ k } \rightarrow \infty \) のとき \( \boldsymbol x_k \) が発散も収束もしない（すなわち, 振動とする）とする. このとき, \( \mathit{ a, b } \) および \( \boldsymbol x_0 \) がみたすべき条件を求めよ.
解答は来週あたりにでも掲載しようと思います。演習 大学院入試問題[数学Ⅰ]に掲載されている問題なので持ってる人はすぐに答えを確認できるかと思います。今回はmathjaxがしっかり使えるか試してみたということで。
では。