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数学がやりたい(?)(元)社会人の日記

数学がやりたいのか数学を利用したいのかどちらかわからなくなっている人のブログ

前回(1/15)の解答

■解答(1)

\begin{eqnarray} A=\left( \begin{array}{ccc} a & b & 0 \\ b & a & b \\ 0 & b & a \end{array} \right)\end{eqnarray}とおくと,

\begin{eqnarray} \boldsymbol x_{k} = A \boldsymbol x_{k - 1} = {A}^2 \boldsymbol x_{k - 2} = \cdots={ A}^k \boldsymbol x_{0}\end{eqnarray}とおくことができる. 

ここで、\( A \) の固有方程式を考えると,

\begin{eqnarray}|\lambda E - A | = \begin{vmatrix} \lambda - a & -b & 0 \\ -b & \lambda - a & -b \\ 0 & -b & \lambda - a \end{vmatrix} = ( \lambda - a )\{(\lambda - a)^2-2b^2\} \end{eqnarray}

\(\therefore\) \(\lambda = a, a + \sqrt{ 2 }b, a - \sqrt{ 2 }b \)

\( A \) は3個の互いに異なる固有値もつから, 正則行列 \( P \) が存在して,  対角化可能.

\begin{eqnarray} A= P \left( \begin{array}{ccc} a & 0 & 0 \\ 0 & a+\sqrt{2}b & 0 \\ 0 & 0 & a-\sqrt{2}b \end{array} \right) P^{-1} \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} \boldsymbol x_{k} = { A}^k \boldsymbol x_{0} = \boldsymbol P \left( \begin{array}{ccc} a^k & 0 & 0 \\ 0 & (a+\sqrt{2}b)^k & 0 \\ 0 & 0 & (a-\sqrt{2}b)^k \end{array} \right) P^{-1} x_0 \end{eqnarray}

つまり, \(a + \sqrt{ 2 }b \lt 1 , a - \sqrt{ 2 }b \gt -1 \)のとき、任意の \( x_{0} \) に対して, \( x_{k} \rightarrow o \)

以上より, \(0 \lt a \lt 1 \) であり, \(b = 0 \) は含む.

図形は都合より省略するが, \( \mathit{a - b} \) 平面上に \( a+\sqrt{2}b=1 \) を図示し, \(a, b\) 軸との交点をそれぞれ\(B, A\)とすると、その範囲は境界 \(AB, AO\) を除いた \(\triangle ABO\) 内であると言える.

 

(2) \( \boldsymbol x_k \) が零ベクトル以外のベクトルに収束するための条件は,点 \((a, b) \) は線分 \( AB \)(\(A\)は含まない)におくことである.

\( a + \sqrt{2}b = 1 ( 0 \lt a \lt 1) \)のとき,

\begin{eqnarray} A=\left( \begin{array}{ccc} a & \frac{1-a}{\sqrt{2}} & 0 \\ \frac{1-a}{\sqrt{2}} & a & \frac{1-a}{\sqrt{2}} \\ 0 & \frac{1-a}{\sqrt{2}} & a \end{array} \right)\end{eqnarray}

と置くことができ, \( A \) の固有方程式は,

\begin{eqnarray}|\lambda E - A | = \begin{vmatrix} \lambda - a & -\frac{1-a}{\sqrt{2}} & 0 \\ -\frac{1-a}{\sqrt{2}} & \lambda - a & -\frac{1-a}{\sqrt{2}} \\ 0 & -\frac{1-a}{\sqrt{2}} & \lambda - a \end{vmatrix} = (\lambda - 1)(\lambda - a)(\lambda - 2a + 1)\end{eqnarray}

\(\therefore\) \(\lambda = 1, a, 2a + 1 \)

すなわち, \( A \) は3個の互いに異なる固有値もつから, 正則行列 \( P \) が存在する.

それぞれの固有値に対応する固有ベクトルを考えると,

\begin{eqnarray} \left( \begin{array}{c} \frac{1}{2} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{2} \end{array} \right), \left( \begin{array}{c} -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \end{array} \right), \left( \begin{array}{c} -\frac{1}{2} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \\ -\frac{1}{2} \end{array} \right)\end{eqnarray}

となるため,

\begin{eqnarray} P=\left( \begin{array}{ccc} \frac{1}{2} & -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ -\frac{1}{2} & \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{2} \end{array} \right)\end{eqnarray}とおく. ここで, \( P \) は直行行列である. つまり,

\begin{eqnarray} P^{-1} = {}^t \! P = \left( \begin{array}{ccc} \frac{1}{2} & \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{2} \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{2} \end{array} \right)\end{eqnarray}

よって,

\begin{align} x_k &= P \left( \begin{array}{ccc} a^k & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & (a-\sqrt{2}b)^k \end{array} \right) P^{-1} x_0 \\ &= P \left( \begin{array}{ccc} a^k & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & (2a-1)^k \end{array} \right) P^{-1} x_0 \\&\longrightarrow \frac{1}{2}\left( \begin{array}{ccc} \frac{1}{2} & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & 1 & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{2} \end{array} \right)x_0 (k \rightarrow \infty)\end{align}

\( \left( \begin{array}{c} \frac{1}{2} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{2} \end{array} \right) \)と直交するような \( x_0 \) をとったとき, 上式の右辺は0となる.

よって, 初めに与えた条件を満たし, かつ右辺が0とならないのは \( a=1, b=0 \) のときである.

(3)は\( a - \sqrt{ 2 }b = -1\)のときに, (2)と同様に考えればよいので省略する.

 

(1)は無理に正則行列  \( P \) を求めて \( A^k \) を出しに行くのではなく、自然体で代入することで対角化した行列が零行列になることを考えるほうが早いです。

(2)は正則行列 \( P \) が直交行列であることに気づけば楽になります。

 直交行列であるには、列ベクトルを \(a_1, a_2, \cdots a_n\) としたとき、

\begin{eqnarray} <a_i, a_j> = \delta_{ij} = \left\{ \begin{array}{l} 1 (i=j) \\ 0 (i \neq j) \end{array} \right.\end{eqnarray}をみたす。

(\(\delta_{ij}\)はKroneckerのデルタ)

 

一週間後に更新すると言って結局本当にぎりぎりになってしまいました。(しかも(3)は省略するという酷さ。)

パソコンで毎回日記を更新しているわけですが、さすがに打ち込むだけでも中々しんどいですね。まだ慣れません。1時間はかかったかな…?

 

私生活のほうは何ら変わりありません。仕事は忙しいです。

 

では。