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数学がやりたい(?)(元)社会人の日記

数学がやりたいのか数学を利用したいのかどちらかわからなくなっている人のブログ

Laplace方程式について

またHatena Blogさんからお叱りのメールが届きましたので更新します。
今回はタイトルの通りです。
平面を境界とした半空間における3次元Laplace方程式を解くという問題の中で、極座標を用いた変換を行うわけなんですがこれが面倒くさいったらありゃしない
なら結果を覚えておけばいいじゃないかという話ですがそれも面倒くさい
とりあえず、普通に変換を行った時の計算を以下に掲載します。

Laplace方程式の極座標変換(円柱座標)

円柱座標におけるLaplacianを考えるにあたり, 極座標変換を行います.

\begin{align*} (x,y,z)=(r\cos\theta,r\sin\theta,z) \end{align*}

とおきます. 連鎖律を考えれば,
\begin{align*} \frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial f}{\partial r}\frac{\partial r}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial \theta}\frac{\partial \theta}{\partial x} \end{align*}

といった形にすることができます. ここで, $r^{2}=x^{2}+y^{2}$ であることを考えれば,

\begin{align*} \frac{\partial r}{\partial x}=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=\frac{r\cos\theta}{r}=\cos\theta \end{align*}

となります. また, $\displaystyle\frac{y}{x}=\frac{r\sin\theta}{r\cos\theta}=\tan\theta$ なので, $\displaystyle\theta=\tan^{-1}\frac{y}{x}$ とできます. 即ち, \begin{align*} \frac{\partial \theta}{\partial x}=\frac{1}{1+{\left( \frac{y}{x} \right)}^2}\frac{ \mathrm{d} }{ \mathrm{d}x }\left(\frac{y}{x}\right)=-\frac{y}{x^{2}+y^{2}}=-\frac{\sin\theta}{r} \end{align*} が得られます. 同様の方法で$\displaystyle\frac{\partial f}{\partial y}$も求めることができます. (ここでは短縮します.) \begin{align*} \frac{\partial f}{\partial x}=\cos\theta\frac{\partial f}{\partial r}-\frac{\sin\theta}{r}\frac{\partial f}{\partial \theta}\newline \frac{\partial f}{\partial y}=\sin\theta\frac{\partial f}{\partial r}+\frac{\cos\theta}{r}\frac{\partial f}{\partial \theta} \end{align*}

あとはこの2式をもう一度微分してあげます. \begin{align} \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} &=\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)=\frac{\partial}{\partial x}\left(\cos\theta\frac{\partial f}{\partial r}-\frac{\sin\theta}{r}\frac{\partial f}{\partial \theta}\right) \\ &=\left(\frac{\partial}{\partial x}\cos\theta\right)\frac{\partial f}{\partial r}+\cos\theta\left(\frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial f}{\partial r}\right)-\left(\frac{\partial}{\partial x}\frac{\sin\theta}{r}\right)\frac{\partial f}{\partial \theta}-\frac{\sin\theta}{r}\left(\frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial f}{\partial \theta}\right) \\ &=\left(\frac{\partial}{\partial x}\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\right)\frac{\partial f}{\partial r}+\cos\theta\frac{\partial^{2} f}{\partial r^{2}}\frac{\partial r}{\partial x}-\left(\frac{\partial}{\partial x}\frac{y}{{x^{2}+y^{2}}}\right)\frac{\partial f}{\partial \theta}-\frac{\sin\theta}{r}\frac{\partial^{2} f}{\partial \theta^{2}}\frac{\partial \theta}{\partial x} \\ &=\frac{\sin^{2}\theta}{r}\frac{\partial f}{\partial r}+\cos^{2}\theta\frac{\partial^{2} f}{\partial r^{2}}+\frac{2\sin\cos\theta}{r}\frac{\partial f}{\partial \theta}+\frac{\sin^{2}\theta}{r^{2}}\frac{\partial^{2} f}{\partial \theta^{2}} \\ \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} &=\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)=\frac{\partial}{\partial y}\left(\sin\theta\frac{\partial f}{\partial r}+\frac{\cos\theta}{r}\frac{\partial f}{\partial \theta}\right) \\ &=\left(\frac{\partial}{\partial y}\sin\theta\right)\frac{\partial f}{\partial r}+\sin\theta\left(\frac{\partial}{\partial y}\frac{\partial f}{\partial r}\right)+\left(\frac{\partial}{\partial y}\frac{\cos\theta}{r}\right)\frac{\partial f}{\partial \theta}+\frac{\cos\theta}{r}\left(\frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial f}{\partial \theta}\right) \\ &=\left(\frac{\partial}{\partial y}\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\right)\frac{\partial f}{\partial r}+\sin\theta\frac{\partial^{2} f}{\partial r^{2}}\frac{\partial r}{\partial y}+\left(\frac{\partial}{\partial y}\frac{x}{{x^{2}+y^{2}}}\right)\frac{\partial f}{\partial \theta}+\frac{\cos\theta}{r}\frac{\partial^{2} f}{\partial \theta^{2}}\frac{\partial \theta}{\partial y} \\ &=\frac{\cos^{2}\theta}{r}\frac{\partial f}{\partial r}+\sin^{2}\theta\frac{\partial^{2} f}{\partial r^{2}}-\frac{2\sin\cos\theta}{r}\frac{\partial f}{\partial \theta}+\frac{\cos^{2}\theta}{r^{2}}\frac{\partial^{2} f}{\partial \theta^{2}} \\ \therefore \nabla^{2}&=\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial z^{2}}=\frac{\partial^{2} f}{\partial r^{2}}+\frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial r}+\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial^{2} f}{\partial \theta^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial z^{2}} \end{align}

ひたすら計算するか覚えるかしかないのか?

何か短縮方法はないかと彷徨っているとPauling and Wilson, “Introduction to Quantum Mechanics”(McGRAW-HILL KOGAKUSHA, LTD.)という量子力学の入門書が。 この本によると、 \begin{align*} x=f(u, v, w),\,y=g(u, v, w),\,z=h(u, v, w) \end{align*} などと置いたとき, \begin{align*} \nabla^{2}&=\frac{1}{q_u q_v q_w}\left\{\frac{\partial}{\partial u}\left(\frac{q_v q_w}{q_u}\frac{\partial}{\partial u}\right)+\frac{\partial}{\partial v}\left(\frac{q_u q_w}{q_v}\frac{\partial}{\partial v}\right)+\frac{\partial}{\partial w}\left(\frac{q_u q_v}{q_w}\frac{\partial}{\partial w}\right)\right\} \\ {p_i}^2&=\left(\frac{\partial x}{\partial i}\right)^{2}+\left(\frac{\partial y}{\partial i}\right)^{2}+\left(\frac{\partial z}{\partial i}\right)^{2}\quad(i=u, v, w) \end{align*} という風に導出できるとのこと。ここで $u, v, w$ は任意の直交座標であり、上記の公式は $u, v, w$ が直交座標の時に成り立つとのことです。 今回の円柱座標はもちろんのこと、デカルト座標、球面座標も該当しますね。 それでは少し計算してみましょう。 \begin{align*} x=r\cos\theta,\,y=r\sin\theta,\,z=z \end{align*} なので, この場合 $u=r,\,v=\theta,\,w=z$ となります. よって, \begin{align*} {p_r}^{2}&=(\cos\theta)^{2}+(\sin\theta)^{2}+0=1\\ {p_\theta}^{2}&=(-r\sin\theta)^{2}+(r\cos\theta)^{2}+0=r^{2}\\ {p_z}^{2}&=0+0+1=1 \end{align*} となります. 即ち, \begin{align*} \nabla^{2}&=\frac{1}{r}\left\{\frac{\partial}{\partial r}\left(\frac{r}{1}\frac{\partial f}{\partial r}\right)+\frac{\partial}{\partial \theta}\left(\frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial \theta}\right)+\frac{\partial}{\partial z}\left(\frac{r}{1}\frac{\partial f}{\partial z}\right)\right\} \\ &=\frac{\partial^{2} f}{\partial r^{2}}+\frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial r}+\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial^{2} f}{\partial \theta^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial z^{2}} \end{align*} とまぁこのような感じにあっさりと出せました。公式も対称性があって覚えやすそうですし、こちらを使えるのであれば使っていきたいですね。 球面座標の場合も同じくあっさり計算できるので、あとでやってみよう。

大学院

今月、大学院説明会に行ってきます。そろそろ研究室訪問もしなければ…。
迷走しすぎてタイトルも説明もヘタレになってます。